【題目】已知橢圓C ,點P,過右焦點F作與y軸不垂直的直線l交橢圓CA,B兩點.

(Ⅰ )求橢圓C的離心率;

(Ⅱ )求證:以坐標原點O為圓心與PA相切的圓,必與直線PB相切.

【答案】12)見解析

【解析】試題分析:

(Ⅰ )由橢圓標準方程知,可計算出,得離心率;

(Ⅱ )只要證明關于軸對稱,即,為此,當直線l斜率存在時,設直線的方程: , , ,由直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去后得的一元二次方程,從而可得,然后計算可得,同時驗證一下斜率不存在時,也滿足.

試題解析:

解:由橢圓C 得:

,

所以, 橢圓C的離心率為

(Ⅱ)因為,所以點F(1,0),

當直線l斜率不存在時,直線l的方程: ,AB兩點關于x軸對稱,

P(4,0)在x軸上,所以直線PA與直線PB關于x軸對稱,

所以, 點O到直線PA與直線的距離PB相等,

所以,以坐標原點O為圓心與PA相切的圓,必與直線PB相切

當直線l斜率存在時,設直線l的方程: , ,

得:

,

,

所以, ,于是點O到直線PA與直線的距離PB相等,

故以坐標原點O為圓心與PA相切的圓,必與直線PB相切

(也可以用點O到直線PA與直線的距離PB的距離相等來證明)

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