Question

如圖，A、B是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)，它的短軸長為1，其一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于R、S兩點(diǎn)．求四邊形ARBS面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件，分別求出b，c，a，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx 4x2+y2=1

，得（k²+4）x²-1=0，由S_{四邊形ARBS}=S_△RBS+S_△RAS，利用韋達(dá)定理和均值定理能求出四邊形ARBS面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A、B是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)，
它的短軸長為1，其一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，
∴b=

1

2

，c=1•sin60°=

3

2

，∴a=1，
∴橢圓方程為

x2

1 4

+y2=0．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)R為（x₁，y₁），點(diǎn)S為（x₂，y₂），直線y=kx與曲線4x²+y²=1聯(lián)立得
（kx）²+4x²=1，
即（k²+4）x²-1=0，
設(shè)點(diǎn)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx 4x2+y2=1

，得（kx）²+4x²=1，即（k²+4）x²-1=0，
∴x₁+x₂=0，x1x2=-

1

k2+4

，
由題意知S_{四邊形ARBS}=S_△RBS+S_△RAS
=

1

4

(2+k)|x1-x2|
=

1

4

（2+k）

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

4

(2+k)2•4 k2+4

=

1

2

4+4k+k2 k2+4

=

1

2

1+ 4 k+ 4 k

≤

1

2

1+ 4 2 k• 4 k

=

2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=

4

k

（k＞0），即k=2時(shí)，取“=”號，
∴四邊形ARBS面積的最大值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．