Question

某化工企業(yè)生產(chǎn)某種化工原料，在生產(chǎn)過程中對周邊環(huán)境將造成一定程度的污染，過去沒有采取任何治理污染的措施，依據(jù)生產(chǎn)和營銷的統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，該企業(yè)每季度的最大生產(chǎn)能力為2萬噸，且每生產(chǎn)x萬噸化工原料，獲得的純利潤y（百萬元）近似地滿足：y=（x+1）ln（x+1）．自2007年3月人民代表大會召開后，該企業(yè)認識到保護環(huán)境的重要性，決定投入資金進行的污染治理，計劃用于治理污染的資金總費用為y₁=2px（百萬元）（其中x為該工廠的生產(chǎn)量，p為環(huán)保指標參數(shù)，p∈（0，1]．
（I）試寫出該企業(yè)進行污染治理后的利潤函數(shù)f（x）；
（II）試問p控制在什么范圍內(nèi)，該企業(yè)開始進行污染治理的第一個季度，在最大生產(chǎn)能力的范圍內(nèi)始終不會出現(xiàn)虧損？

Answer 1

分析：（I）由題意，該企業(yè)進行污染治理后的利潤函數(shù)為f（x）=y-y₁，由此可得函數(shù)解析式；
（II）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，該企業(yè)進行污染治理后的利潤函數(shù)為f（x）=y-y₁=（x+1）ln（x+1）-2px．（x＞0）．…（3分）
（II）f′（x）=ln（x+1）+1-2p．
令f′（x）=0，得x=e^2p-1-1．…（4分）
①當0＜2p≤1，即0＜p≤

1

2

時，對x∈(0，2]，f′(x)＞0．
所以f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，且f（x）≥f（0）=0．
即當0＜p≤

1

2

時，對所有x∈（0，2]，都有（x+1）ln（x+1）≥2px．…（8分）
②當2p＞1，即

1

2

＜p＜1時，e^2p-1-1＞0．
則當x∈（0，e^2p-1-1）?（0，2]時，f′（x）＜0．…（11分）
所以f（x）在（0，e^2p-1）上為減函數(shù)，且f（x）＜f（0）=0
則（x+1）ln（x+1）＜2px．…（13分）
綜合可知，當0＜p≤

1

2

時，生產(chǎn)的第一季度始終不會出現(xiàn)虧損現(xiàn)象．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的模型的建立，考查導數(shù)知識的運用，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，屬于中檔題．