Question

在區(qū)間[-1，1]上任取兩數(shù)a，b，求二次方程x²+2ax+b²=0
（1）有實(shí)數(shù)根的概率；
（2）有兩個(gè)正數(shù)實(shí)數(shù)根的概率．

Answer 1

分析：（1）本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出（a，b）對(duì)應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+b²=0有實(shí)根”的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．
（2）本題利用幾何概型求解．先將二次方程x²+ax+b²=0的兩根都是正數(shù)的a，b必須滿足的條件列出來(lái)，再在坐標(biāo)系aob中畫出區(qū)域，最后求出面積比即可．

解答：解：如下圖所示：
試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}（圖中矩形所示）．其面積為4．
構(gòu)成事件“關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根”的區(qū)域?yàn)?BR>

△≥0 |a|≤1 |b|≤1

，解可得

|a|≥|b| -1≤a≤1 -1≤b≤1

（如圖陰影所示）．
如圖所示，正方形中陰影部分面積與正方形面積之比即為所求概率．
∴p=

s1

s

=

1 2 ×1×1×2

4

=

1

4

（2）由二次方程x²+2ax+b²=0有兩正根可得：

△＞0 -2a＞0 b2＞0

，解可得|a|＞|b|且a＜0，
又由a、b∈[-1，1]，
其對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D中左邊的陰影部分，
陰影部分面積與正方形面積之比即為所求概率，其結(jié)果為（1）的一半，
即p=

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+b²=0有實(shí)根（正根）的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形的面積，并將其和長(zhǎng)方形面積一齊代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解．