Question

14．已知兩點M（2，0）、N（-2，0），平面上動點P滿足|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0
（1）求動點P的軌跡C的方程．
（2）如果直線x+my+4=0（m∈R）與曲線C交于A、B兩點，那么在曲線C上是否存在點D，使得△ABD是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0，得4$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+（-4x-8）=0，由此能求出點P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將x=4-my，代入C的方程，得y²+8my-32=0，y₁+y₂=-8m，y₁y₂=-32，設(shè)存在D（$\frac{{t}^{2}}{8}$，t），則$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），
∵M（2，0）、N（-2，0），平面上動點P（x，y）滿足|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0，
∴4$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+（-4x-8）=0，
∴y²=8x，
∴動點P的軌跡C的方程為y²=8x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將x=4-my，代入C的方程，得y²=32-8my，
即y²+8my+32=0，△=64m²-128＞0，∴m＜-$\sqrt{2}$或m$＞\sqrt{2}$．
∴y₁+y₂=-8m，y₁y₂=-32，
設(shè)存在D（$\frac{{t}^{2}}{8}$，t），則$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，
∴（x₁-$\frac{{t}^{2}}{8}$）（x₂-$\frac{{t}^{2}}{8}$）+（y₁-t）（y₂-t）=0，
代入整理可得t²-8mt+96=0，
∴64m²-384≥0，
∴m$≤-\sqrt{6}$或m$≥\sqrt{6}$
∴m$≤-\sqrt{6}$或m$≥\sqrt{6}$，存在點D，使得△ABD是以AB為斜邊的直角三角形．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查韋達定理、向量知識的運用，屬于中檔題．