Question

8．雙曲線C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為$\sqrt{2}$，雙曲線C與拋物線y²=4x的準(zhǔn)線交于A，B兩點，|AB|=4，則雙曲線C的實軸長為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線方程，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用|AB|=4求得一交點坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得λ，則雙曲線C的實軸長可求．

解答 解：由題意可知，雙曲線為焦點在y軸上的等軸雙曲線，
設(shè)等軸雙曲線C的方程為y²-x²=λ，（1）
拋物線y²=4x，則2p=4，p=2，∴$\frac{p}{2}=1$，
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1．
設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線x=-1的兩個交點A（-1，y），B（-1，-y）（y＞0），
則|AB|=|y-（-y）|=2y=4，∴y=2．
將x=-1，y=2代入（1），得2²-（-1）²=λ，∴λ=3，
∴等軸雙曲線C的方程為x²-y²=3，
即$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$，
∴C的實軸長為$2\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．