Question

若函數(shù)f（x）對(duì)定義域中任意x均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱．
（1）已知函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）已知函數(shù)g（x）在R上的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=x²-2x，求函數(shù)g（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，可得f（x）+f（-x）=2，代入解析式，即可求得m的值；
（2）利用函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，可得g（x）+g（-x）=2，根據(jù)x∈（0，+∞）時(shí)的解析式，即可求得結(jié)論；

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
即：

x2+mx+m

x

+

x2-mx+m

-x

=2，
解得m=1
（2）x＜0時(shí)，-x＞0，且g（x）+g（-x）=2，
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=x²-2x，
所以g（x）=2-g（-x）=-x²-2x+2
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）+g（-0）=2⇒g（0）=1；
因此g（x）=

-x2-2x+2，x＜0 1，x=0 x2-2x，x＞0

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查函數(shù)的解析式，考查恒成立問(wèn)題，正確求出函數(shù)的最值是關(guān)鍵．