用放縮法證明不等式：2（
n+1
-1）＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
（n∈N*）
考點：反證法與放縮法
專題：推理和證明
分析：利用
2
2
+
1
＞
1
2
＞
2
3
+
2
，
2
3
+
2
＞
1
3
＞
2
4
+
3
，…即可證明結(jié)果．
解答： 證明：原式=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜1+
2
2
+
1
+
2
3
+
2
+…+
2
n
+
n-1

＜1+2(
2
-1)+2(
3
-
2
)+…+2(
n
-
n-1
)
=1+2（
n
-1）=2
n
-1＜2
n
．
因為1＞
2
2
+1
=2(
2
-1)，
1
2
＞
2
3
+
2
=2（
3
-
2
），
1
3
＞
2
4
+
3
=2(
4
-
3
)…
1
n
＞
2
n
+
n+1
=2(
n+1
-1)，
所以2（
n+1
-1）＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
所以2（
n+1
-1）＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
（n∈N*）
點評：本題考查放縮法證明不等式，關(guān)鍵是放大與縮小的度，考查分析問題解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，鐵路線上AB段長100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米．現(xiàn)要在AB上某一點D處，向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為3：5．為了使原料從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最少，D點應(yīng)選在何處？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=3，若
a
與
b
的夾角為θ=120°，求
（1）
a
•
b

（2）求|2
a
+3
b
|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F1與拋物線y2=4x的焦點重合，原點到過點A（a，0），B（0，-b）的直線的距離是
2
7
21
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P，過F1作PF1的垂直于直線l交于點Q，求證：點Q在定直線上，并求出定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（2，0），
b
=（1，4）．
（Ⅰ）求|
a
+
b
|的值；         
（Ⅱ）若向量k
a
+
b
與
a
+2
b
平行，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C1：2x2-y2=2m2（m＞0），拋物線C2頂點在坐標(biāo)原點，焦點正好是雙曲線C1的左焦點F．問：是否存在過F且不垂直于x軸的直線l，使l與拋物線C2交于兩點P，Q，并且△POQ的面積為6，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）ex，x∈[-2，a]，a＞-2，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若a＜1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：f（a）＞
13
e2
；
（3）對于定義域為D的函數(shù)y=g（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，使得x∈[m，n]時，y=g（x）的值域是[m，n]，則稱[m，n]是該函數(shù)y=g（x）的“保值區(qū)間”．設(shè)h（x）=f（x）+（x-2）ex，x∈（1，+∞），問函數(shù)y=h（x）是否存在“保值區(qū)間”？若存在，請求出一個“保值區(qū)間”； 若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判斷并證明函數(shù)f（x）=x+
1
x
的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3
（1）求正三棱錐S-ABC外接球半徑；
（2）在正三棱錐內(nèi)任取一點P，求點P滿足VP-ABC＜
1
3
VS-ABC的概率．

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同步練習(xí)冊答案