Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數(shù)n，有S_n，，n（a≠0，a≠1）成等差數(shù)列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n（用a，n表示）
（2）當時，數(shù)列{b_n}是否存在最小項，若有，請求出第幾項最��；若無，請說明理由；
（3）若{b_n}是一個單調(diào)遞增數(shù)列，請求出a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意①
∴②
②-①得，
即a_n+1+1=a（a_n+1），{a_n+1}是以a為公比的等比數(shù)列．∴a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由?a₁=a-1∴a_n=aⁿ-1

（2）時，，
當n＜8時，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n，∴b₁＞b₂＞＞b₈
當n=8時，b_n+1-b_n=0即b_n+1=b&_n，b₈=b₉
當n＞8時，b_n+1-b_n＞0即b_n+1＞b_n∴b₉＜b₁₀＜
存在最小項且第8項和第9項最小

（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0
當a＞1時，得（n+1）a-n＞0，即，顯然恒成立，∴a＞1
當0＜a＜1時，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即，∴，∴
綜上，a的取值范圍為．
分析：（1）由題設知，a_n+1+1=a（a_n+1），再由{a_n+1}是以a為公比的等比數(shù)列．知a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由?a₁=a-1，由此知a_n=aⁿ-1．
（2）時，，，
再經(jīng)過分類討論可知存在最小項且第8項和第9項最�。�
（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0，由此入手能夠得到a的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，合理解答，注意公式的靈活運用．