Question

如圖，半徑為1的圓O上有一定點(diǎn)M，A為圓O上的動點(diǎn)．在射線OM上有一動點(diǎn)B，AB=1，0B＞1．線段AB交圓O于另一點(diǎn)C，D為線段的OB中點(diǎn)．求線段CD長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：設(shè)∠AOB=θ，由OA=AB=1，利用等邊對等角及內(nèi)角和定理表示出∠OBA與∠BAO，再由OA=OC，表示出∠OCA與∠BOC，連接AD，根據(jù)OA=AB，D為OB中點(diǎn)，利用三線合一得到A垂直于OB，表示出OD，在三角形OCD中，利用余弦定理表示出CD，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二次函數(shù)性質(zhì)求出范圍即可．

解答： 解：連接AD，
設(shè)∠AOB=θ，
∵OA=AB=1，
∴∠OBA=θ，∠BAO=180°-2θ，
∵OA=OC，
∴∠OCA=180°-2θ，
∴∠BOC=180°-3θ，
∵OA=AB，D為OB中點(diǎn)，
∴AD⊥OB，
∴OD=OAcosθ=cosθ，
在△OCD中，利用余弦定理得：CD²=OC²+OD²-2OC•OD•cos∠BOC
=1+cos²θ-2cosθcos（180°-θ）
=1+cos²θ+2cosθcos3θ=8cos⁴θ-5cos²θ+1
=8（cos²θ-

5

16

）²+

7

32

，
∵∠BOC=180°-3θ＜∠AOB=θ，∠OCA=180°-2θ＞∠OBA=θ，
∴

180°-3θ＜θ 180°-2θ＞θ

，
解得：45°＜θ＜60°，即

1

4

＜cos²θ＜

1

2

，
∴

7

32

＜CD²＜

1

2

，
即

14

8

≤CD＜

2

2

，等號在cosθ=

5

4

時成立，
則線段CD長的取值范圍是[

14

8

，

2

2

）．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，二次函數(shù)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．