Question

水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間（單位：月），以年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為v（t）=

1 240 (-t2+15t-51)et+50(0＜t≤9) 4(t-9)(3t-41)+50(9＜t≤12)

．
（1）若該水庫的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期，以i-1＜t≤i表示第i月份（i=1，2，…12），問一年內(nèi)那幾個(gè)月份是枯水期？
（2）求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e³=20計(jì)算）．

Answer 1

分析：（1）對(duì)t分段討論，分別令v（t）＜0，解不等式求出t的范圍即得到枯水期對(duì)應(yīng)的月份．
（2）據(jù)（1）判斷出最大值所在的可能月份，求出v（t）的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0的t的范圍即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出最值．

解答：解：（1）當(dāng)0＜t≤9時(shí)，v（t）=

1

240

（-t²+15t-51）e^t+50＜50，
即t²-15t+51＞0，
解得t＞

15+ 21

2

或t＜

15- 21

2

，
從而0＜t＜

15- 21

2

≈5.2．
當(dāng)9＜t≤12時(shí)，v（t）=4（t-9）（3t-41）+50＜50，
即（t-9）（3t-41）＜0，
解得9＜t＜

41

3

，所以9＜t≤12．
綜上，0＜t＜5.2或9＜t≤12，枯水期為1，2，3，4，5，10，11，12月．
（2）由（1）知，水庫的最大蓄水量只能在6～9月份．
v′（t）=

1

240

（-t²+13t-36）e^t=-

1

240

e^t（t-1）（t-9），
令v′（t）=0，解得t=9或t=4（舍去），
又當(dāng)t∈（6，9）時(shí)，v′（t）＞0；當(dāng)t∈（9，10）時(shí)，v′（t）＜0．
所以，當(dāng)t=9時(shí)，v（t）的最大值v（9）=

1

240

×3×e⁹+50=150（億立方米），
故一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是150億立方米．

點(diǎn)評(píng)：解決分段函數(shù)的有關(guān)問題，有關(guān)分段研究，再將求出的結(jié)果求并集；解決實(shí)際問題，要注意最后將數(shù)學(xué)問題還原到實(shí)際問題．