Question

已知二次函數的導函數的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設．

(1)若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；

(2)如何取值時，函數存在零點，并求出零點.

 

Answer 1

（1）或；（2）當時, 函數有一零點；

當()，或（）時，函數有兩個零點；

當時，函數有一零點.

【解析】

試題分析：（1）先根據二次函數的頂點式設出函數g（x）的解析式，然后對其進行求導，根據g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行求出a的值，進而可確定函數g（x）、f（x）的解析式，然后設出點P的坐標，根據兩點間的距離公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．

（2）先根據（1）的內容得到函數y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x2+2x+m=0，然后先對二次項的系數等于0進行討論，再當二次項的系數不等于0時，即為二次方程時根據方程的判別式進行討論即可得到答案．

試題解析：（1）依題可設 ()，則；

又的圖像與直線平行

， ，

設，則

當且僅當時，取得最小值，即取得最小值

當時， 解得

當時， 解得

（2）由()，得

當時，方程有一解，函數有一零點；

當時，方程有二解，

若，，函數有兩個零點，即

；若，，函數有兩個零點，即；

當時，方程有一解, ,

函數有一零點

綜上，當時, 函數有一零點；

當()，或（）時，

函數有兩個零點；

當時，函數有一零點.

考點：１．導數的幾何意義；２．利用導數研究函數的極值；３．函數零點與方程根的關系．