Question

【題目】設(shè)n為正整數(shù)，集合A=，，，，，．對(duì)于集合A中的任意元素和，記．

（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若，，求和的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素，，證明：．

（Ⅲ）給定不小于2的正整數(shù)n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同元素，，．寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2，2；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)定義直接計(jì)算即可；

（Ⅱ）設(shè)，，有，,可得，

所以，易得，

，即可證明結(jié)論.

（Ⅲ）根據(jù)抽屜原理即可得證.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，，

所以，

；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素，

設(shè)，，有

，．

對(duì)于任意的，，，，，，

當(dāng)時(shí)，有，

當(dāng)時(shí)，有．

即，

所以，有，

又因?yàn)?/span>，

所以，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以，

，

即，當(dāng)且僅當(dāng)（，，，）時(shí)等號(hào)成立；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可證，對(duì)于任意的，

若，則，成立．

所以，考慮設(shè)

，

，，，，，

對(duì)于任意的，，，，

，，，

所以，

假設(shè)滿足條件的集合B中元素個(gè)數(shù)不少于，

則至少存在兩個(gè)元素在某個(gè)集合（，，，）中，

不妨設(shè)為，則．

與假設(shè)矛盾，所以滿足條件的集合B中元素個(gè)數(shù)不多于．

取；

對(duì)于，，，，取，且；．

令，

則集合滿足條件，且元素個(gè)數(shù)為,

故是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合．