Question

（2013•鹽城三模）記定義在R上的函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．如果存在x₀∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（x₀）（b-a）成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的“中值點(diǎn)”．那么函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間[-2，2]上“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為

2

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出f^′（x），分別計(jì)算出f（2）-f（-2），2-（-2），利用f（2）-f（-2）=f′（x₀）[2-（-2）]，即可解出．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³-3x，∴f^′（x）=3x²-3．
又f（2）-f（-2）=2³-3×2-[（-2）³-3×（-2）]=4，2-（-2）=4．
設(shè)x₀∈[-2，2]為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的“中值點(diǎn)”．
則4f^′（x₀）=4，得f^′（x₀）=1．
∴3

x

2 0

-3=1，解得x0=±

2 3

3

．
∴函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間[-2，2]上“中值點(diǎn)”為±

2 3

3

，其個(gè)數(shù)為2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：正確理解“中值點(diǎn)”，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．