Question

已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：
①m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n．
其中正確的命題的序號(hào)是

1. A.
   ①③
2. B.
   ②③
3. C.
   ①④
4. D.
   ②④

Answer 1

C
分析：①分別取直線m、n的方向向量即為平面α、β法向量，而二者垂直，所以二平面亦垂直；
②舉出以下反例：m⊥β時(shí)亦滿足條件，但此時(shí)平面α與β卻相交；
③同②可舉出反例；
④可由m⊥α，α∥β，得出m⊥β，再由線面平行的性質(zhì)定理及n∥β可知，在平面β內(nèi)有無數(shù)條直線與直線n平行，可得m與這些直線垂直，即可判斷出答案．
解答：如圖所示，①∵m⊥α，n⊥β，m⊥n，∴平面α、β的法向量垂直，∴可得出二平面的平面角為直角，則α⊥β，故①正確；
②若m⊥β時(shí)亦滿足條件，但是α與β相交，即α與β不一定平行，因此②不正確；
③同②可舉出反例，∴③不正確；
④∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β．∵n∥β，由線面平行的性質(zhì)定理可知，在平面β內(nèi)有無數(shù)條直線與直線n平行，
可得m與這些直線垂直，從而m與n垂直．
綜合以上可知：①④正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：理解線面、面面平行與垂直的判斷定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．