Question

如圖，△PAD為等邊三角形，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分別為PA、BC、PD中點，．
（Ⅰ）求證：AG⊥EF
（Ⅱ）求多面體P-AGF的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）（圖1）連接GE、GC
∵△PAD是等邊三角形，G為PD邊中點，∴AG⊥PD…（2分）
∵ABCD為矩形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD…（4分）
∵AG⊆平面PAD，∴CD⊥AG，
∵CD、PD是平面PCD內(nèi)的相交直線，∴AG⊥平面PCD，
∵CG⊆平面PCD，∴AG⊥CG…（6分）
∵△PAD中，E、G分別為PA、PD中點，∴GE∥AD且，
又∵矩形ABCD中，F(xiàn)為BC中點，∴CF∥AD且，
∴CF∥GE且CF=GE，可得四邊形CFEG是平行四邊形，CG∥EF…（8分）
∴AG⊥EF…（10分）
（Ⅱ）由（I）得CD⊥平面PAD，
∵BC∥AD，AD⊆平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，
因此，點F到平面PAD的距離等于CD
∴三棱錐F-PAG的體積為：V=
所以多面體P-AGF的體積等于V_{三棱錐F-PAG}=…（14分）
分析：（Ⅰ）連接GE、GC，根據(jù)△PAD是等邊三角形，得到中線AG⊥PD．而矩形ABCD中，CD⊥AD，結(jié)合平面PAD⊥平面ABCD，得到CD⊥平面PAD，從而有CD⊥AG．依據(jù)線面垂直的判定定理，得到AG⊥平面PCD，所以AG⊥CG．接下來證明四邊形CFEG是平行四邊形，得到CG∥EF，所以有AG⊥EF；
（II）由（I）得CD⊥平面PAD，且BC∥平面PAD，因此點F到平面PAD的距離等于CD．由此可得三棱錐F-PAG的體積V，即為多面體P-AGF的體積．
點評：本題給出的四棱錐的底面為矩形，有一側(cè)面為正三角形且與底面垂直，證明了線線垂直并且求錐體的體積，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明和多面體體積的計算等知識，屬于中檔題．