Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+{a}^{2}}{x}$（a＞0）
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]上是減函數(shù)；
（2）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上值域?yàn)閇5，+∞），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，并分解因式，由0＜x≤a，即可判斷導(dǎo)數(shù)的符號，進(jìn)而得到單調(diào)性；
（2）對a討論，若a≥2，0＜a＜2，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 （1）證明：函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+{a}^{2}}{x}$（a＞0）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x+a）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x≤a時(shí)，f′（x）≤0，
即有函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]上是減函數(shù)；
（2）解：f′（x）=1-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x+a）}{{x}^{2}}$，
若a≥2，則f（x）在（0，2]遞減，f（2）取得最小值，
且為2+$\frac{{a}^{2}}{2}$=5，解得a=$\sqrt{6}$（負(fù)的舍去）；
若0＜a＜2，即有f（x）在（0，a）遞減，在（a，2）遞增，
則x=a取得最小值，且為a+a=5，解得a=$\frac{5}{2}$（舍去）．
綜上可得a=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查運(yùn)算能力和分類討論的思想方法，屬于中檔題．