Question

設{a_n}是等差數(shù)列，a_n＞0，公差d≠0，求證：

an+1

+

an+4

＜

an+2

+

an+3

．

Answer 1

分析：本題是一個不等式證明題，由于本題條件較少，故可以用分析法進行證明，觀察發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都是正數(shù)，故可以用平分的逐步尋求不等式成立的條件．

解答：證明：∵{a_n}是等差數(shù)列，∴a_n+k=a_n+kd．    （2分）
要證

an+1

+

an+4

＜

an+2

+

an+3

，
只要證

an+d

+

an+4d

＜

an+2d

+

an+3d

，
只要證an+d+2

(an+d)(an+4d)

+an+4d＜an+2d+2

(an+2d)(an+3d)

+an+3d，
∵a_n＞0，∴只要證（a_n+d）（a_n+4d）＜（a_n+2d）（a_n+3d）（2分）
只要證a_n²+5da_n+4d²＜a_n²+5da_n+6d²，只要證d²＞0．    （2分）
∵已知d≠0，∴d²＞0成立，故

an+1

+

an+4

＜

an+2

+

an+3

．    （2分）

點評：本題考查分析法證明不等式，熟練掌握分析法的原理與做題格式是證明本題的關(guān)鍵，分析法適合于條件較少的不等式的證明，由于不等式證明在高考中弱化，分析法在高考試卷上出現(xiàn)的頻率不高