Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax-1
（1）若f（1）=2，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若f（x）在（-∞，4]上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題可知，f（1）=1+2a-1=2，即a=1，此時(shí)函數(shù)f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2≥-2，
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）_min=-2．
（2）若f（x）為偶函數(shù)，則有對(duì)任意x∈R，都有 f（-x）=（-x）²+2a（-x）-1=f（x）=x²+2ax-1，即4ax=0，故a=0．
（3）函數(shù)f（x）=x²+2ax-1的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-a]，而f（x）在（-∞，4]上是減函數(shù)，
∴4≤-a，即a≤-4，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-4]．
分析：（1）由f（1）=2，解得a=1，此時(shí)函數(shù)f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2，由此可得函數(shù)f（x）的最小值．
（2）若f（x）為偶函數(shù)，則有對(duì)任意x∈R，都有 f（-x）=f（x），由此求得實(shí)數(shù)a的值．
（3）由于函數(shù)f（x）=x²+2ax-1的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-a]，而f（x）在（-∞，4]上是減函數(shù)，可得 4≤-a，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．