Question

 [2012·天津卷] 如圖1－4，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.

(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；

(2)證明平面PDC⊥平面ABCD；

(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．

圖1－4

Answer 1

解：(1)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，因為底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因為AD⊥PD，故∠PAD為異面直線PA與BC所成的角．

在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2.

所以，異面直線PA與BC所成角的正切值為2.

 (2)證明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.

(3)在平面PDC內(nèi)，過點(diǎn)P作PE⊥CD交直線CD于點(diǎn)E，連接EB.

由于平面PDC⊥平面ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角．

在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°.

在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝.

由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.

在Rt△PCB中，PB＝＝.

在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝.

所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.