(2013•威海二模)如圖1,在梯形ABCD中,BC∥DA,BE⊥DA,EA=EB=BC=2,DE=1,將四邊形DEBC沿BE折起,使平面DEBC垂直平面ABE,如圖2,連結(jié)AD,AC.
(Ⅰ)若F為AB中點,求證:EF∥平面ADC;
(Ⅱ)若
AM
AC
,且BM與平面ADC所成角的正弦值為
2
2
3
,試確定點M的位置.
分析:(I)取AC中點N,連接FN,DN,F(xiàn)E,由三角形中位線定理及平行四邊形判定定理可得四邊形FNDE為平行四邊形,進而EF∥ND,結(jié)合線面平行的判定定理可得EF∥平面ADC;
(Ⅱ)分別以EA,EB,ED所在直線為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系,求出線段BM的方向向量(含參數(shù)λ)及平面ADC法向量,代入向量夾角公式,求出λ值,可得點M的位置.
解答:證明:(I)取AC中點N,連接FN,DN,F(xiàn)E,
∵F,N分別是AB,AC的中點
∴FN∥BC且FN=
1
2
BC
又∵DE∥BC且DE=
1
2
BC
∴FN∥DE且FN=DE
∴四邊形FNDE為平行四邊形
∴EF∥ND
又∵EF?平面ACD,DN?平面ACD,
∴EF∥平面ADC;
(Ⅱ)∵平面DEBC⊥平面ABE,平面DEBC∩平面ABE=BE,AE⊥BE,AE?平面ABE
∴AE⊥平面DEBC
又∵DE?平面DEBC
∴AE⊥DE
由已知中DE⊥BE,AE⊥BE,故可以EA,EB,ED所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系
 則E(0,0,0),D(0,0,1),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2)
AD
=(-2,0,1),
AC
=(-2,2,2)
設(shè)平面ADC的一個法向量為
n
=(x,y,z)
n
AD 
=0
n
AC
=0
,即
-2x+z=0
-2x+2y+2z=0

令x=1,則
n
=(1,-1,2)
∵BM與平面ADC所成角的正弦值為
2
2
3

∴|cos<
BM
,
n
>|=
2
2
3
設(shè)M(a,b,c),由
AM
AC
得(a-2,b,c)=λ(-2,2,2)
∴M(2-2λ,2λ,2λ)
BM
=(2-2λ,2λ-2,2λ)
∴|cos<
BM
,
n
>|=
|2-2λ+2-2λ+4λ|
2
2(1-λ)2+λ2
1+1+4
=
2
2
3

即12λ2-16λ+5=0
解得λ=
1
2
或λ=
5
6

故M點位于AC的中點或靠近C點的六等分點上
點評:本題考查的知識點是直線與平面平行的判定,用空間向量求直線與平面的夾角,其中(I)的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行的判定定理,(II)的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
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