Question

（1）求證：平面SAP;
（2）求二面角A－SD－P的大小.

Answer 1

(2)

證明：（1）因為底面，
所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1
易求得，AP=PD=，…………………………………….…..………….2分
又因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以．………….…….3分
因為SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD,               …………….……………………….…....4分
由于SA∩AP=A    所以平面SAP． …………………………….5分
（2）設Q為AD的中點,連結PQ,       ……………………………….………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,則平面SAD⊥平面PAD……..7分
因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結PR,
由三垂線定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分
容易證明△DRQ∽△DAS,則
因為DQ=1，SA=1，，所以….……….10分
在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，所以………11分
所以二面角A－SD－P的大小為．……………….…….…….12分
或：過A在平面SAP內作,且垂足為H,在平面SAD內作,且垂足為E,連接HE，平面SAP。平面SDP…………7分
∴HE為AE在平面SPD內的射影，∴由三垂線定理得
從而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分
在中,，在中,，
.        ………………………………….11分
即二面角的大小為……………………………12分