Question

已知函數(shù)

（1）當時，求的最小值；

（2）在區(qū)間（1,2）內(nèi)任取兩個實數(shù)p，q，且p≠q,若不等式>1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）求證：（其中）。

 

Answer 1

（1）；（2）（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）求導，令導數(shù)大于0得增區(qū)間，令導數(shù)小于0得減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最小值。（2）因為，表示點與點連成的斜率，可將問題轉(zhuǎn)化為直線的斜率問題。根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求其斜率，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，求最值時還是用求導再求其單調(diào)性的方法求其最值。（3）由（2）可得，則有。用放縮法可證此不等式。

試題解析：【解析】
（1）

得

上遞減，上遞增。

。 4分

（2），

表示點與點連成的斜率，又，，即函數(shù)圖象在區(qū)間（2，3）任意兩點連線的斜率大于1，

即內(nèi)恒成立. 6分

所以，當恒成立.

設

若

當上單調(diào)遞減；

當上單調(diào)遞增. 9分

又

故 10分

（3）由（2）得，

11分

所以

又

而

成立. 14分

考點：用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)。