Question

19．已知奇函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列{x_n}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，滿足f（x₇）+f（x₈）=0，則x₂₀₁₇的值為4019．

Answer 1

分析 設(shè)設(shè)x₇=x，則x₈=x+2，則f（x）+f（x+2）=0，結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性可知，f（x+1）=0=f（0），x₇=-1．設(shè)數(shù)列{x_n}通項(xiàng)x_n=x₇+2（n-7）．得到通項(xiàng)x_n=2n-15．由此能求出x₂₀₁₁的值．

解答 解：設(shè)x₇=x，則x₈=x+2，
∵f（x₇）+f（x₈）=0，
∴f（x）+f（x+2）=0，
結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性可知，
∴f（x+1）=0=f（0），
即x+1=0．
∴x=-1，
設(shè)數(shù)列{x_n}通項(xiàng)x_n=x₇+2（n-7）=2n-15
∴x₂₀₁₇=2×2017-15=4019．
故答案為：4019

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的合理運(yùn)用．