【題目】橢圓： 的離心率為，短軸端點與兩焦點圍成的三角形面積為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點，且過點，為坐標原點，當△為直角三角形，求直線的斜率.

【答案】(1)；(2)和.

【解析】

(1)利用題中所給面積及離心率列出方程組求解a,b,c，即可求得橢圓的標準方程；(2)根據(jù)題意設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的二次方程，由韋達定理表示出,①當為直角時，由列出方程即可求得k；②當或為直角時，不妨設(shè)為直角，由及列出方程組求點A的坐標，從而求出直線的斜率k.

(1)根據(jù)題意可得，

所以橢圓方程為；

(2)根據(jù)題意，過點滿足題意得直線斜率存在，設(shè)，

聯(lián)立，消去y得：，

，令，解得，

，

設(shè)A、B兩點的坐標分別為，

①當為直角時，，即，

所以，

則，解得；

②當或為直角時，不妨設(shè)為直角，

此時，，則，①，

又②，將①代入②可得，

解得或(舍去)，

將代入①，得，所以，

經(jīng)檢驗，所求k值均與題意相符，綜上，k的值為和.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了進一步推動全市學(xué)習型黨組織、學(xué)習型社會建設(shè)，某市組織開展“學(xué)習強國”知識測試，每人測試文化、經(jīng)濟兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人，分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟項目測試成績的頻率分布直方圖如下：

經(jīng)濟項目測試成績頻率分布直方圖

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

2

3

5

15

40

35

文化項目測試成績頻數(shù)分布表

將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為一般，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為良好，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.

（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認為“經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？

優(yōu)秀

一般或良好

合計

男生數(shù)

女生數(shù)

合計

（2）用這100人的樣本估計總體.

（i）求該市文化項目測試成績中位數(shù)的估計值.

（ii）對該市文化項目、經(jīng)濟項目的學(xué)習成績進行評價.

附：

0.150

0.050

0.010

2.072

3.841

6.635

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系.圓經(jīng)過、、三點.

（1）求圓的方程；

（2）若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的面積為,且滿足，則邊的最小值為_______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點和，記過點，的直線的斜率為k，問：是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某品牌服裝店為了慶祝開業(yè)兩周年，特舉辦“你敢買，我就送”的回饋活動，規(guī)定店慶當日進店購買指定服裝的消費者可參加游戲，贏取獎金，游戲分為以下兩種：

游戲 1：參加該游戲贏取獎金的成功率為，成功后可獲得元獎金；

游戲 2：參加該游戲贏取獎金的成功率為，成功后可得元獎金；

無論參與哪種游戲，未成功均沒有收獲，每人有且僅有一次機會，且每次游戲成功與否均互不影響，游戲結(jié)束后可到收銀臺領(lǐng)取獎金。

（Ⅰ）已知甲參加游戲 1，乙參加游戲 2，記甲與乙獲得的總獎金為，若，求的值；

（Ⅱ）若甲、乙、丙三人都選擇游戲 1或都選擇游戲 2，問：他們選擇何種規(guī)則，累計得到獎金的數(shù)學(xué)期望值最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為。我們將其結(jié)論推廣：橢圓上的點處的切線方程為，在解本題時可以直接應(yīng)用。已知，直線與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求的值；

（2）設(shè)為坐標原點，過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點。當變化時，求面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，經(jīng)過點作直線與該橢圓交于、兩點，在線段上存在點，使成立，試問：點是否在直線上，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點為橢圓上一動點，連接、，設(shè)的角平分線交橢圓的長軸于點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面上定點到定直線的距離，為該平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為，且；

（1）試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線交軌跡于、兩點，交直線于點，已知，，求證：為定值.

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