【題目】橢圓的離心率為,短軸端點與兩焦點圍成的三角形面積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設直線與橢圓交于兩點,且過點為坐標原點,當△為直角三角形,求直線的斜率.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)利用題中所給面積及離心率列出方程組求解a,b,c,即可求得橢圓的標準方程;(2)根據(jù)題意設出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立,得到關于x的二次方程,由韋達定理表示出,①為直角時,由列出方程即可求得k;為直角時,不妨設為直角,由列出方程組求點A的坐標,從而求出直線的斜率k.

(1)根據(jù)題意可得,

所以橢圓方程為;

(2)根據(jù)題意,過點滿足題意得直線斜率存在,設

聯(lián)立,消去y得:,

,令,解得

,

A、B兩點的坐標分別為,

為直角時,,即,

所以

,解得;

為直角時,不妨設為直角,

此時,,則,,

,將代入可得,

解得(舍去),

代入,得,所以,

經(jīng)檢驗,所求k值均與題意相符,綜上,k的值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了進一步推動全市學習型黨組織、學習型社會建設,某市組織開展“學習強國”知識測試,每人測試文化、經(jīng)濟兩個項目,每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人,分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟兩個項目的測試成績,得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟項目測試成績的頻率分布直方圖如下:

經(jīng)濟項目測試成績頻率分布直方圖

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

2

3

5

15

40

35

文化項目測試成績頻數(shù)分布表

將測試人員的成績劃分為三個等級如下:分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為一般,分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為良好,分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.

(1)在抽取的100人中,經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人,經(jīng)濟項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認為“經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀”與性別有關?

優(yōu)秀

一般或良好

合計

男生數(shù)

女生數(shù)

合計

(2)用這100人的樣本估計總體.

(i)求該市文化項目測試成績中位數(shù)的估計值.

(ii)對該市文化項目、經(jīng)濟項目的學習成績進行評價.

附:

0.150

0.050

0.010

2.072

3.841

6.635

.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,某海面上有、三個小島(面積大小忽略不計),島在島的北偏東方向距千米處,島在島的正東方向距20千米處.為坐標原點,的正東方向為軸的正方向,1千米為單位長度,建立平面直角坐標系.經(jīng)過、三點.

1)求圓的方程;

2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船D島的南偏西30°方向距40千米處,正沿著北偏東行駛,若不改變方向,試問該船有沒有觸礁的危險?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知的面積為,且滿足,則邊的最小值為_______.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若有兩個極值點,記過點,的直線的斜率為k,問:是否存在m,使得?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某品牌服裝店為了慶祝開業(yè)兩周年,特舉辦“你敢買,我就送”的回饋活動,規(guī)定店慶當日進店購買指定服裝的消費者可參加游戲,贏取獎金,游戲分為以下兩種:

游戲 1:參加該游戲贏取獎金的成功率為,成功后可獲得元獎金;

游戲 2:參加該游戲贏取獎金的成功率為,成功后可得元獎金;

無論參與哪種游戲,未成功均沒有收獲,每人有且僅有一次機會,且每次游戲成功與否均互不影響,游戲結束后可到收銀臺領取獎金。

(Ⅰ)已知甲參加游戲 1,乙參加游戲 2,記甲與乙獲得的總獎金為,若,求的值;

(Ⅱ)若甲、乙、丙三人都選擇游戲 1或都選擇游戲 2,問:他們選擇何種規(guī)則,累計得到獎金的數(shù)學期望值最大?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】教材曾有介紹:圓上的點處的切線方程為。我們將其結論推廣:橢圓上的點處的切線方程為,在解本題時可以直接應用。已知,直線與橢圓有且只有一個公共點.

(1)求的值;

(2)設為坐標原點,過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、,且交于點。當變化時,求面積的最大值;

(3)在(2)的條件下,經(jīng)過點作直線與該橢圓交于、兩點,在線段上存在點,使成立,試問:點是否在直線上,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)點為橢圓上一動點,連接、,設的角平分線交橢圓的長軸于點,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,平面上定點到定直線的距離,為該平面上的動點,過作直線的垂線,垂足為,且;

1)試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼,求動點的軌跡的方程;

2)過點的直線交軌跡、兩點,交直線于點,已知,,求證:為定值.

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