Question

（2013•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e=

2

2

，過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應(yīng)的圓Q的標準方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，將左焦點橫坐標代入橢圓方程可得y=±

b2

a

，則

b2

a

=2①，又

c

a

=

2

2

②，a²=b²+c²③，聯(lián)立①②③可求得a，b；
（Ⅱ）設(shè)Q（t，0）（t＞0），圓的半徑為r，直線PP′方程為：x=m（m＞t），則圓Q的方程為：（x-t）²+y²=r²，聯(lián)立圓與橢圓方程消掉y得x的二次方程，則△=0①，易求P點坐標，代入圓的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，則S△PP′Q=

1

2

|PP′|(m-t)，變?yōu)殛P(guān)于t的函數(shù)，利用基本不等式可求其最大值及此時t值，由對稱性可得圓心Q在y軸左側(cè)的情況；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
左焦點F₁（-c，0），將橫坐標-c代入橢圓方程，得y=±

b2

a

，
所以

b2

a

=2①，

c

a

=

2

2

②，a²=b²+c²③，聯(lián)立①②③解得a=4，b=2

2

，
所以橢圓方程為：

x2

16

+

y2

8

=1；
（Ⅱ）設(shè)Q（t，0）（t＞0），圓的半徑為r，直線PP′方程為：x=m（m＞t），
則圓Q的方程為：（x-t）²+y²=r²，
由

(x-t)2+y2=r2 x2 16 + y2 8 =1

得x²-4tx+2t²+16-2r²=0，
由△=0，即16t²-4（2t²+16-2r²）=0，得t²+r²=8，①
把x=m代入

x2

16

+

y2

8

=1，得y2=8(1-

m2

16

)=8-

m2

2

，
所以點P坐標為（m，

8- m2 2

），代入（x-t）²+y²=r²，得(m-t)2+8-

m2

2

=r2，②
由①②消掉r²得4t²-4mt+m²=0，即m=2t，
S△PP′Q=

1

2

|PP′|(m-t)=

8- m2 2

×（m-t）=

8-2t2

×t=

2(4-t2)t2

≤

2

×

(4-t2)+t2

2

=2

2

，
當且僅當4-t²=t²即t=

2

時取等號，
此時t+r=

2

+

6

＜4，橢圓上除P、P′外的點在圓Q外，
所以△PP'Q的面積S的最大值為2

2

，圓Q的標準方程為：(x-

2

)2+y2=6．
當圓心Q、直線PP′在y軸左側(cè)時，由對稱性可得圓Q的方程為(x+

2

)2+y2=6，△PP'Q的面積S的最大值仍為為2

2

．

點評：本題考查圓、橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查方程組的解法，考查學生的計算能力，難度較大．