Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1 1-x

，若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）寫(xiě)出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）記y=g（x）的定義域?yàn)锳，不等式x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0的解集為B．若A是B的真子集，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，在y=g（x）的圖象上任取一點(diǎn)P，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′在y=f（x）的圖象上，求出g（x）的解析式；
（2）求出g（x）的定義域A，不等式的解集B，根據(jù)A是B的真子集，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）在函數(shù)y=g（x）的圖象上任取一點(diǎn)P（x，y），
則P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′（-x，-y）在y=f（x）的圖象上，（2分）
∴-y=

2(-x)-1 1-(-x)

=

-2x-1 x+1

，
即g（x）=-

-2x-1 x+1

；（6分）
（直接寫(xiě)出解析式無(wú)過(guò)程，扣2分）
（2）∵g（x）=-

-2x-1 x+1

，
∴-

2x+1

x+1

≥0，
解得-1＜x≤-

1

2

，
即A=（-1，-

1

2

]；（8分）
解不等式x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0，?
得a-1≤x≤a，
即B=[a-1，a]；（11分）
又∵A是B的真子集，
∴

a-1≤-1 a≥- 1 2

，
解得-

1

2

≤a≤0．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，集合的運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．