Question

正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F分別為D′C′與AB的中點．求A′B′與截面A′ECF所成角的大��？

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：證明直線EF垂直平面A′B′C內(nèi)的兩條相交直線A′C、B′C，可得EF⊥平面A′B′C，從而B′在平面A′ECF上的射影在線段A′C上，則∠B′A′C就是A′B′與平面A′ECF所成的角．然后解三角形，求A′B′與平面A′ECF所成角的正切值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：連接C′B，
∵E、F分別為D′C′與AB的中點
∴A′F=CE．
又A′F∥CE，
∴A′FCB為平行四邊形，
∴C′B∥EF．
而C′B⊥B′C，
∴EF⊥B′C．
又四邊形A′ECF是菱形，∴EF⊥A′C．∴EF⊥面A′B′C．
又EF?平面A′ECF，
∴平面A′B′C⊥平面A′ECF，
∴B′在平面A′ECF上的射影在線段A′C上．
∴∠B′A′C就是A′B′與平面A′ECF所成的角．
∵A′B′⊥B′C，
在Rt△A′B′C中，tan∠B′A′C=

B′C

A′B′

=

2

∴A′B′與平面A′ECF所成角為arctan

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．