定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:①對任意x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f(
x+y
1-xy
)
; ②當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0,回答下列問題.
(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,1)上的圖象關(guān)于原點對稱;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并說明理由.
(3)證明:f(
1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)>f(
1
2
)
,(n∈Z).
分析:(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性:①判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱,②判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系;
(2)證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,利用定義,分五步①設(shè)元,②作差,③變形,④判號,⑤下結(jié)論;
(3)利用題中所給的等式,把要求的與已知的相結(jié)合,將f(
1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)
轉(zhuǎn)化成f(
1
2
)-f(
1
n+2
)
,然后根據(jù)單調(diào)性可判斷符號,從而得到結(jié)論.
解答:解:(1)令x=y=0,則2f(0)=f(0)即f(0)=0,
令y=-x,則f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),
∴函數(shù)f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù);
(2)設(shè)0<x1<x2<1,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
x1-x2
1+x1x2
)

而x1-x2<0,1+x1x2>0
x1-x2
1+x1x2
<0⇒f(
x1-x2
1+x1x2
)>0
,
即當(dāng)x1<x2時,f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
(3)f(
1
n2+3n+3
)=f[
1
(n+1)(n+2)+1
]=f[
1
(n+1)(n+2)
1+
1
(n+1)(n+2)
]

=f[
1
n+1
-
1
n+2
1-
1
n+1
•(-
1
n+2
)
]=f(
1
n+1
)+f(-
1
n+2
)=f(
1
n+1
)-f(
1
n+2
)

f(
1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)

=[f(
1
2
)-f(
1
3
)]+[f(
1
3
)-f(
1
4
)]+…+[f(
1
n+1
)-f(
1
n+2
)]

=f(
1
2
)-f(
1
n+2
)
,
∵0<
1
n+2
<1,且f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,
f(
1
n+2
)<f(0)=0
,
f(
1
2
)-f(
1
n+2
)>f(
1
2
)
,
f(
1
7
)+f(
1
13
)+…+f(
1
n2+3n+3
)>f(
1
2
)
點評:本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,與具體函數(shù)的證明方法相同,做題一定要抓牢定義,特別是證明題,一切方法源根本.屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且f(
1
2
)=
2
5
,
①求函數(shù)f(x)的解析式;
②判斷函數(shù)f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性并用定義證明;
③解關(guān)于x的不等式f(log2x-1)+f(log2x)<0.

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已知函數(shù)f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=2x2-2x,求f(x)在(-1,1)上的解析式.

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(1)證明f(x)在[-1,1]上是增函數(shù);

(2)解不等式f(x+)<f().

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函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)的奇函數(shù),且f()=
(1)確定f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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函數(shù)f(x)=是定義在(-1,1)的奇函數(shù),且f()=
(1)確定f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.

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