Question

已知函數(shù)，其定義域為[2，5]，
（1）用定義證明：函數(shù)f（x）在定義域[2，5]上為減函數(shù)．
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

（1）證明：任取x₁，x₂∈[2，5]，且x＜x₂，
則=
因為2≤x₁＜x₂≤5，得，x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)在區(qū)間[2，5]上為減函數(shù)．
（2）解：由（1）得函數(shù)在區(qū)間[2，5]上為減函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）在x=2時取得最大值，最大值為1；
在x=5時取得最小值，最小值為．
所以函數(shù)的值域為．
分析：（1）嚴格按照定義，先在區(qū)間[2，5]上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號，得到結(jié)論．
（2）由（1）得函數(shù)在區(qū)間[2，5]上為減函數(shù)．所以函數(shù)f（x）在端點處取得最值．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及求最值，要注意在研究函數(shù)最值或值域時，一定要先研究單調(diào)性．