Question

各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}，首項(xiàng)a1=1，且對(duì)于任意n∈N^* 均有6a _n+1-a _n+1a_n-2a_n=0，b_n=

1

an

．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）將6a_n+1-a_n+1•a_n-2a_n=0變形有：

1

an+1

=

3

an

-

1

2

，即

1

an+1

-

1

4

=3(

1

an

-

1

4

)，這樣容易求得b_n，
（2）由（1）求得bn=

3n+1

4

=

1

an

，可求得an=

4

3n+1

，用放縮法容易證明結(jié)論．

解答：解：（1）由6a _n+1-a _n+1a_n-2a_n=06a_n+1-a_n+1•a_n-2a_n=0

1

an+1

=

3

an

-

1

2

，…（2分）

1

an+1

-

1

4

=3(

1

an

-

1

4

)，bn+1-

1

4

 =3(bn-

1

4

)
所{bn-

1

4

}是以3為公比

3

4

為首項(xiàng)的等比數(shù)列…（4分）
∴bn-

1

4

=

3

4

×3n-1=

3n

4

，bn=

3n+1

4

   …（6分）
（2）Tn=

4

3+1

+

4

32+1

+…+

4

3n-1+1

+

4

3n+1

…（7分）
＜4(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)…（10分）
=4×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=2（1-

1

3n

）＜2   （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查放縮法，解題的難點(diǎn)在于將已知條件合理轉(zhuǎn)化，特別是轉(zhuǎn)化為

1

an+1

-

1

4

=3(

1

an

-

1

4

)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．