Question

已知雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的頂點(diǎn)為A₁，A₂，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P，Q，則直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)M的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用三點(diǎn)共線建立方程，利用P（x₀，y₀）在雙曲線上，化簡(jiǎn)即可求得軌跡方程．

解答： 解：設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M（x，y），
∵雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，
∴A₁（-m，0），A₂（m，0）
∴由A₁、P、M三點(diǎn)共線，得

y0

x0+m

=

y

x+m

，…①
由A₂、Q、M三點(diǎn)共線，得

y0

m-x0

=

y

x-m

，…②
聯(lián)立①②，解得x₀=

m2

x

，y₀=

my

x

，
∵P（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴

x02

m2

-

y02

n2

=1，
∴所求軌跡的方程為

m2

x2

-

m2y2

n2x2

=1
化簡(jiǎn)得，

x2

m2

+

y2

n2

=1（x≠0，y≠0）
故答案為：

x2

m2

+

y2

n2

=1（x≠0，y≠0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，考查三點(diǎn)共線的知識(shí)和化簡(jiǎn)整理的能力，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．