若兩圓x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三條公切線，其中a，b∈R，ab≠0，則
4
a2
+
1
b2
的最小值為
 
．
考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,圓與圓的位置關(guān)系及其判定
專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：由題意可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，可得a2+4b2=9，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得
4
a2
+
1
b2
的最小值．
解答： 解：由題意可得兩圓相外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 （x+a）2+y2=4，x2+（y-2b）2=1，
圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為2和1，故有
a2+4b2
=3，∴a2+4b2=9，
∴
4
a2
+
1
b2
=
1
9
（a2+4b2）（
4
a2
+
1
b2
）=
1
9
（8+
16b2
a2
+
a2
b2
）≥
1
9
（8+8）=
16
9
，
當(dāng)且僅當(dāng)
16b2
a2
=
a2
b2
時，等號成立，
∴
4
a2
+
1
b2
的最小值為
16
9
．
故答案為：
16
9
．
點評：本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，基本不等式的應(yīng)用，得到a2+4b2=9是解題的關(guān)鍵和難點．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

前6項依次為1，2，3，5，8，13…的數(shù)列的第9項為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果復(fù)數(shù)
2-bi
1+2i
＞0，則實數(shù)b=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點A，B都在某雙曲線上，且A，B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，sin2x），
b
=（2，sin2x），其中x∈（0，π），若
a
∥
b
，則tanx的值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3sin（2x+
π
3
），若對任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，則|x2-x1|的最小值等于（　�。�
A、6
B、π
C、
π
2
D、
π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知cos
A+B
2
=
1
5
，則cos
C
2
=（　　）
A、-
1
5
B、
1
5
C、
2
5
6
D、-
2
5
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若當(dāng)x=
π
4
時，函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，則函數(shù)y=f（
π
4
-x）是（　　）
A、奇函數(shù)且圖象關(guān)于點（
π
2
，0）對稱
B、偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=
π
2
對稱
C、奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=
π
2
對稱
D、偶函數(shù)且圖象關(guān)于點（
π
2
，0）對稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中正確的是（　　）
①某地區(qū)感染流感人數(shù)與外來流感患者人數(shù)是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量
②兩個變量之間沒有確定的函數(shù)關(guān)系，則這兩個變量相關(guān)
③如果兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，那么回歸直線經(jīng)過樣本中心點
④y與x有相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為
y
=0.5+2x，則y與x正相關(guān)．
A、①②③B、①②④
C、①③④D、①②③④

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同步練習(xí)冊答案