Question

已知函數(shù)f（x²-3）=log_a

x2

6-x2

（a＞0且a≠1）
（1）求函數(shù)的解析式并判斷其奇偶性．
（2）探究并證明函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）換元法，令t=x²-3，則x²=t+3，代入已知可得f（t），可得f（x），進而可判奇偶性；
（2）當a＞1時函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)．當0＜a＜1時f（x）在其定義域上為減函數(shù)，用定義法結合復合函數(shù)的單調性證明即可．

解答： 解：（1）換元法，令t=x²-3，則x²=t+3，
代入已知可得f(t)=loga

t+3

6-(t+3)

=loga

3+t

3-t

∴函數(shù)的解析式為：f(x)=loga

3+x

3-x

，-3＜x＜3
∵f（x）+f（-x）=loga

3+x

3-x

+loga

3-x

3+x

=loga(

3+x

3-x

×

3-x

3+x

)=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）當a＞1時函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)．
證明如下：任取x₁，x₂∈（-3，3）且x₁＜x₂，
令U（x）=

3+x

3-x

=-1+

6

3-x

，
則U(x1)-U(x2)=

6

3-x1

-

6

3-x2

=

6(x1-x2)

(3-x1)(3-x2)

∵x₁，x₂∈（-3，3）且x₁＜x₂，
∴（x₁-x₂）＜0，（3-x₁）（3-x₂）＞0
∴U（x₁）-U（x₂）＜0，即U（x₁）＜U（x₂）
∴f（x₁）-f（x₂），
∴函數(shù)f（x）為定義域上的增函數(shù)．
同理可證當0＜a＜1時f（x）在其定義域上為減函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)的奇偶性和單調性，屬中檔題．