Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，首項為1的等比數(shù)列{b_n}的公比為q，S₂=a₃=b₃，且a₁，a₃，b₂成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）對一切正整數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,等差數(shù)列的前n項和,等比數(shù)列的前n項和

專題：計算題

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d．由a₃=b₃，得a1+2d=b1q2，故有3a1=q2．由a₁，a₃，b₄成等差數(shù)列，得a32=a1•b4，故有9a1=q3．由此能求出{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）由2Sn-nan=2×[3n+

n(n-1)

2

×3]-n•3n=3n，2Tn+1=2×

1×(1-3n)

1-3

+1=3n，知若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）對一切正整數(shù)n成立，則3n=b+nlog_a3，由此能求出實(shí)數(shù)a，b的值．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₂=a₃，得2a₁+d=a₁+2d，故有a₁=d．
由a₃=b₃，得a1+2d=b1q2，故有3a1=q2．①
由a₁，a₃，b₄成等差數(shù)列，得a32=a1•b4，故有9a1=q3．②
由①②解得a₁=3，q=3，
∴a_n=3+（n-1）•3=3n，bn=3n-1．
（2）∵2Sn-nan=2×[3n+

n(n-1)

2

×3]-n•3n=3n，
2Tn+1=2×

1×(1-3n)

1-3

+1=3n，
若2S_n-na_n=b+log_a（2T_n+1）對一切正整數(shù)n成立，
則3n=b+nlog_a3，
∴

loga3=3 b=0

，解得a=

3	3

，b=0．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，尤其是恒成立問題的轉(zhuǎn)化．