如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形.PD⊥底面ABCD,E是PB的中點.
(1)求證:面AEC⊥面PBD;
(2)當(dāng)PD=AB=2時,求二面角A-DE-C的大小及點A到面DEC的距離.
分析:(1)欲證平面AEC⊥平面PDB,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AEC內(nèi)一直線與平面PDB垂直,而根據(jù)題意可得AC⊥平面PDB;
(2)先求出面DEC以及平面ADE的一個法向量,把求二面角問題轉(zhuǎn)化為求向量的夾角問題;求點A到面DEC的距離實際上是求向量
AD
在面DEC的法向量上的投影的長度.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)解:分別以AD,DC,DP所在的直線為X,Y,Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系;
則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),P(0,0,2),E(1,1,1);
DE
=(1,1,1),
AD
=(-2,0,0);
CD
=(0,-2,0)
設(shè)平面ADE的法向量為
n
=(a,b,c),則
n
AD
=0 
n
DE
=0
-2a=0
a+b+c=0
n
=(0,-1,1);
同理設(shè)平面CDE的法向量為
m
=(d,e,f),則
m
DE
=0
m
CD
=0
-2e=0
d+e+f=0
m
=(-1,0,1);
∴cos<
m
,
n
>=
1
2
×
2
=
1
2

∴二面角A-DE-C的大小為:60°.
∴點A到平面EDC的距離d=|
AD
m
|
m
|
|
=
2
2
=
2
2
點評:本題考查的知識點是向量語言表述直線的垂直關(guān)系,點到平面的距離運算,用空間向量求直線間的夾角,向量法的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系,將空間線面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點.求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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