定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)=
xe-x2+ax,x∈(0,1)
2x-1,x∈[1,+∞)
,其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù),求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)為(0,1)上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并判斷此時函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是否為單調(diào)函數(shù);
(3)當(dāng)x∈(0,1)時,記g(x)=lnf(x)+x2-ax,試證明:對n∈N*,當(dāng)n≥2時,有-
n(n-1)
2
≤g(
1
n!
)<
n
k=1
1
k
-n
分析:(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù),則說明當(dāng)x=1時,分段函數(shù)兩段函數(shù)的解析式均相等,即ea-1=1.解指數(shù)方程即可得到答案.
(2)函數(shù)f(x)為(0,1)上的單調(diào)函數(shù),則f'(x)在區(qū)間(0,1)上恒小于0,或恒大于0,由此分類討論后,構(gòu)造關(guān)于a的不等式,解不等式即可得到答案.由此再判斷f'(x)在區(qū)間(0,+∞)上的符號,即可判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是否為單調(diào)函數(shù);
(3)當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)=lnf(x)+x2-ax=lnx.則可將不等式-
n(n-1)
2
≤g(
1
n!
)<
n
k=1
1
k
-n
.變形為-1-2-3-^-(n-1)<ln1+ln
1
2
+ln
1
3
+…+ln
1
n
<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
-n,分別構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-1+
1
t
與s(t)=lnt-t+1,并判斷兩個函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,可得到1-
1
t
<lnt<t-1,其中t∈(0,1),代入即可證明結(jié)論.
解答:解:(1)∵f(1)=1,,已知f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù),
∴有ea-1=1.
∴a=1.
(2)當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=xe-x2+ax
此時,f'(x)=e-x2+ax+xe-x2+ax(-2x-a)=(-2x2+ax+1)e-x2+ax
e-x2+ax>0,
lim
n→0+
(-2x2+ax+1)=1>0

∴f'(x)不可能在(0,1)上恒小于0.
故f(x)在(0,1)上必為增函數(shù).
∴-2x2+ax+1 0在(0,1)上恒成立.
?a≥
2x2-1
x
=2x-
1
x
在(0,1)上恒成立.
設(shè)u(x)=2x-
1
x
,x∈(0,1).
∵u(x)在(0,1)上是增函數(shù),u(x)<1.
∴當(dāng)a≥1時,f(x)在(0,1)上是增函數(shù).
又當(dāng)a=1時,f(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù);
當(dāng)a>1時,∵
lim
n→1-
f(x)
=
lim
n→1-
xe-x2+ax
=ea-1>1=f(1),
此時,f(x)在(0,+∞)上不是增函數(shù).
(3)當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)=lnf(x)+x2-ax=lnx.
當(dāng)n≥2時,
欲證-
n(n-1)
2
≤g(
1
n!
)<
n
k=1
1
k
-n
,
需證:-1-2-3-^-(n-1)<ln
1
n!
<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
-n
即需證-1-2-3-^-(n-1)<ln1+ln
1
2
+ln
1
3
+…+ln
1
n
<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
-n
猜想:1-
1
t
<lnt<t-1,其中t∈(0,1).
下面證明之.構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-1+
1
t
,t∈(0,1).
∵h(yuǎn)'(t)=
1
t
-
1
t2
=
t-1
t2
<0,
∴h(t)在(0,1)上是減函數(shù),而,
∴h(t)>h(1)=0,即有1-
1
t
<lnt
設(shè)s(t)=lnt-t+1,t∈(0,1).
同理可證:s(t)<0,
即有1-
1
t
<lnt<t-1,其中t∈(0,1).
分別取t=
1
2
,
1
3
,…,
1
n
(n≥2),所以有n個不等式相加即得:
-1-2-3-^-(n-1)<ln1+ln
1
2
+ln
1
3
+…+ln
1
n
<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
-n,
-
n(n-1)
2
≤g(
1
n!
)<
n
k=1
1
k
-n
點(diǎn)評:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便,但應(yīng)注意f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件,在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是f′(x)≥0[或f′(x)≤0],x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0,這就是說,函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)處有f′(x0)=0,甚至可以在無窮多個點(diǎn)處f′(x0)=0,只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間,因此,在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時,應(yīng)令f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立,解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立理論求解),然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去,若f′(x)不恒為0,則由f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•安徽)設(shè)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=ax+
1
ax
+b(a>0)
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=
3
2
x
,求a,b的值.

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已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),且f(
13
)=1.
(1)求f(1)與f(3);  
(2)若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.

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a+b
2
)|

(1)求f(1);
(2)若f(2)=1,解不等式f(x)<2;
(3)求證:3<b<2+
2

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定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f′(x)?x<f(x),且f(2)=0,則
f(x)
x
>0的解集為( 。
A、(0,2)
B、(0,2)∪(2,+∞)
C、(2,+∞)
D、?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間[0,2]上的兩個函數(shù)f(x)和g(x),其中f(x)=x2-2ax+4(a≥1),g(x)=
2xx+1

(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值m(a)及g(x)的值域;
(2)若對任意x1、x2∈[0,2],f(x2)>g(x1)恒成立,求a的取值范圍.

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