Question

12．已知f（x）=2asinxcosx+2cos²x，且f（$\frac{π}{6}$）=3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)可得f（x）=asin2x+cos2x+1，由f（$\frac{π}{6}$）=3可得a=$\sqrt{3}$，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，可得周期；
（2）由x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）和三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得：
f（x）=2asinxcosx+2cos²x=asin2x+cos2x+1，
∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{1}{2}$+1=3，解得a=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），∴2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈（1-$\sqrt{3}$，3]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?-$\sqrt{3}$，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬基礎(chǔ)題．