Question

【題目】已知拋物線：上一點到其焦點的距離為2.

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）設拋物線的準線與軸交于點，直線過點且與拋物線交于，兩點（點在點，之間），點滿足，求與的面積之和取得最小值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由題意知，拋物線的焦點為，把點代入拋物線方程，再結合點到其焦點的距離為2，利用兩點間距離公式得到關于的方程，解方程即可求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點，易知直線的斜率存在，且不為零，設其方程為，

設，，由，利用平面向量的坐標運算可得，，聯立直線方程和拋物線方程得到關于的一元二次方程，利用韋達定理求出的值，利用數形結合可得，，再利用基本不等式求最值即可求解.

（Ⅰ）的焦點為，依題意有，解得，

所以，拋物線的標準方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的標準方程為，其準線方程為：，

所以點易知直線的斜率存在，且不為零，其方程為，

設，，因為，即，

∴，聯立方程，消去，得，，

根據題意，作圖如下：

.

當且僅當，即或時，

與的面積之和最小，最小值為.

時，，，直線的方程為；

時，，，直線的方程為，

∴與的面積之和最小值時直線的方程為或.