Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且a_n+1+$\frac{2}{3}$S_n=1．
（1）求a_n；
（2）令b_n=n+a_n，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1+$\frac{2}{3}$S_n=1與a_n+2+$\frac{2}{3}$S_n+1=1作差，整理可得a_n+2=$\frac{1}{3}$a_n+1，進而可得結論；
（2）通過a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$可知b_n=n+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，分別求出等差數(shù)列、等比數(shù)列的和相加即可．

解答 解：（1）∵a_n+1+$\frac{2}{3}$S_n=1，
∴a_n+2+$\frac{2}{3}$S_n+1=1，
兩式相減得：a_n+2-a_n+1+$\frac{2}{3}$a_n+1=0，
整理得：a_n+2=$\frac{1}{3}$a_n+1，
又∵a₁=1，
∴a₂=1-$\frac{2}{3}$S₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$1•\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
（2）∵a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴b_n=n+a_n=n+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項即前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．