Question

已知函數(shù)+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）試用含a的式子表示b，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂）為函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)，G（x，y）為AB的中點(diǎn)，記AB兩點(diǎn)連線斜率為K，證明：f′（x）≠K．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用f′（1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)化簡即可得到a與b的關(guān)系式，用a表示出b；然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間；
（2）因?yàn)锳與B在函數(shù)圖象上，所以把A和B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中得到關(guān)于兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的兩個(gè)關(guān)系式，利用斜率的算法表示出斜率k，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式根據(jù)A和B的橫坐標(biāo)表示出中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，并把求出的G橫坐標(biāo)的值代入導(dǎo)函數(shù)，利用反證法證明，方法是：假設(shè)表示出的斜率k等于G的橫坐標(biāo)在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值，化簡后令t=，u（t）=lnt-，求出u（t）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)大于0得到u（t）為增函數(shù)，得到u（t）小于0與題意矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，故f′（x）≠k．
解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f′（x）=，
∴b=a-1，∴f′（x）=，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，得-，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，得-，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
；∴當(dāng)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；

（2）因A、B在的圖象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
假設(shè)k=f′（x），則得：，
即，
即，令，
∵，
∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，∴u（t）＜u（1）=0，
∴，所以假設(shè)k=f′（x）不成立，
故f′（x）≠k．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡求值，掌握反證法進(jìn)行命題證明的方法，是一道綜合題．