【題目】已知函數(shù),
,(
為自然對數(shù)的底數(shù)),且曲線
與
在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線相同.
(1)求的最小值;
(2)若時,
恒成立,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
試題分析:(1)由于曲線與
在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線相同,即它們在原點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相同,
,
,
且切點(diǎn)為原點(diǎn),
,解得
.所以
,當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
,所以當(dāng)
時,
取得最小值為
;(2)由(1)知,
,即
,從而
,即
.構(gòu)造函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)并對
分類討論
的圖象與性質(zhì),由此求得實(shí)數(shù)
的取值范圍.
試題解析:
(1)因?yàn)?/span>,
,
依題意,,且
,解得
,
所以,當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.
故的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.
∴當(dāng)時,
取得最小值為0.
(2)由(1)知,,即
,從而
,即
.
設(shè),
則,
(1)當(dāng)時,因?yàn)?/span>
,∴
(當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立)
此時在
上單調(diào)遞增,從而
,即
.
(2)當(dāng)時,由于
,所以
,
又由(1)知,,所以
,故
,
即.(此步也可以直接證
)
(3)當(dāng)時,令
,則
,
顯然在
上單調(diào)遞增,又
,
,
所以在
上存在唯一零點(diǎn)
,
當(dāng)時,
,∴
在
上單調(diào)遞減,
從而,即
,所以
在
上單調(diào)遞減,
從而當(dāng)時,
,即
,不合題意.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
到兩點(diǎn)
的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)
的軌跡為
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)、
、
是曲線
上的三點(diǎn).若
,求線段
的中點(diǎn)
的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),且f(2x-3)>f(5x-6),則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:x+2y﹣1=0,l2:2x+ny+5=0,l3:mx+3y+1=0,若l1∥l2且l1⊥l3,則m+n的值為( )
A.﹣10B.﹣2C.2D.10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市場上有一種新型的強(qiáng)力洗衣粉,特點(diǎn)是去污速度快,已知每投放(
且
)個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度
(克/升)隨著時間
(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為
,其中
,若多次投放,則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時,它才能起有效去污的作用.
(1)若只投放一次4個單位的洗衣液,則有效去污時間可能達(dá)幾分鐘?
(2)若先投放2個單位的洗衣液,6分鐘后投放個單位的洗衣液,要使接下來的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污,試求
的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):
取
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍。為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數(shù)為
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
為矩形,
平面
,
是
的中點(diǎn).
(1)證明://平面
;
(2)設(shè),三棱錐
的體積
,求
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校學(xué)生的視力情況,現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣的方式從該校的兩班中各抽5名學(xué)生進(jìn)行視力檢測,檢測的數(shù)據(jù)如下:
班5名學(xué)生的視力檢測結(jié)果是:
.
班5名學(xué)生的視力檢測結(jié)果是:
.
(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),從計(jì)算結(jié)果看,哪個班的學(xué)生視力較好?并計(jì)算班的5名學(xué)生視力的方差;
(2)現(xiàn)從班上述5名學(xué)生中隨機(jī)選取2名,求這2名學(xué)生中至少有1名學(xué)生的視力低于
的概率.
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