Question

17．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=BC=2，若M為四面體C₁BCD內的點（包含邊界），則直線A₁M與平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值的余弦的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 首先找出直線A₁M與平面A₁B₁C₁D₁所成的角：過M作MN⊥平面A₁B₁C₁D₁，連接A₁N，從而∠MA₁N便是直線A₁M和平面A₁B₁C₁D₁所成角，并且可以得到，當cos∠MA₁N最小時，sin∠MA₁N=$\frac{MN}{{A}_{1}M}$最大．連接A₁B，A₁D，取BD中點O，并連接A₁O，可得到A₁O⊥BD，連接B₁D₁，并取其中點O₁，連接OO₁，O₁A₁，容易說明OO₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，從而便可以看出當M和O，N和O₁都重合時，sin∠MA₁N最大，而cos∠MA₁N最小，并能求出該最小值．

解答 解：如圖，過M作MN⊥平面A₁B₁C₁D₁，垂足為N，連接A₁N，則∠MA₁N便是直線A₁M和平面A₁B₁C₁D₁所成角；

要使直線A₁M和平面A₁B₁C₁D₁所成角的余弦值最小，只要∠MA₁N最大；
∴此時，sin∠MA₁N=$\frac{MN}{{A}_{1}M}$取到最大值；
連接A₁B，A₁D，則△A₁BD為等邊三角形；
取BD中點O，連接A₁O，則A₁O⊥BD，連接B₁D₁并取其中點為O₁，連接OO₁，O₁A₁，則：
OO₁⊥平面A₁B₁C₁D₁；
∴若M和O點重合，則：
此時MN=OO₁=1最大，${A}_{1}M={A}_{1}O=\sqrt{3}$最小，并且${A}_{1}{O}_{1}=\sqrt{2}$；
∴此時cos∠MA₁N=cos∠OA₁O₁=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$最�。�
故選C．

點評 考查直線和平面所成角的概念及找法，直線和平面所成角的范圍，正余弦函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$）上的單調性，而將找使cos∠MA₁N最小，轉變成找使sin∠MA₁N最大的點M是求解本題的關鍵．