Question

已知函數(shù)f(t)=

1-t 1+t

，g(x)=cosx•f(sinx)+sinx•f(cosx)，x∈(π，

17π

12

).
（Ⅰ）將函數(shù)g（x）化簡成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）將f（sinx），f（cosx）代入g（x），分子分母分別乘以（1-sinx），（1-cosx）去掉根號，再由x的范圍去絕對值可得答案．
（2）先由x的范圍求出x+

π

4

的范圍，再由三角函數(shù)的單調(diào)性可得答案．

解答：解：（Ⅰ）g(x)=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

=cosx•

(1-sinx)2 cos2x

+sinx•

(1-cosx)2 sin2x

∵x∈(π，

17π

12

]，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx，
∴g(x)=cosx•

1-sinx

-cosx

+sinx•

1-cosx

-sinx

=sinx+cosx-2
=

2

sin(x+

π

4

)-2.
（Ⅱ）由π＜x≤

17π

12

，得

5π

4

＜x+

π

4

≤

5π

3

.
∵sint在(

5π

4

，

3π

2

]上為減函數(shù)，在(

3π

2

，

5π

3

]上為增函數(shù)，
又sin

5π

3

＜sin

5π

4

，∴sin

3π

2

≤sin(x+

π

4

)＜sin

5π

4

（當(dāng)x∈(π，

17π

2

]），
即-1≤sin(x+

π

4

)＜-

2

2

，∴-

2

-2≤

2

sin(x+

π

4

)-2＜-3，
故g（x）的值域?yàn)?span id="6x6p1ow" class="MathJye">[-

2

-2，-3).

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的定義域、值域和三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查三角恒等變換、代數(shù)式的化簡變形和運(yùn)算能力．