Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點．
（Ⅰ）求證：FG∥平面PED；
（Ⅱ）求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小；
（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點M，使直線FM與直線PA所成的角為60°？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由三角形的中位線定理得到線線平行，然后直接利用線面平行的判定定理得到線面平行；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，根據(jù)兩個平面的法向量所成的角與二面角相等或互補，由兩個平面法向量所成的角求解二面角的大��；
（Ⅲ）假設存在點M，由共線向量基本定理得到M點的坐標，其中含有一個未知量，然后利用直線FM與直線PA所成的角為
60°轉化為兩向量所成的角為60°，由兩向量的夾角公式求出M點的坐標，得到的M點的坐標符合題意，說明假設成立，最后得到結論．
解答：（Ⅰ）證明：因為F，G分別為PB，BE的中點，所以FG∥PE．
又FG?平面PED，PE?平面PED，所以FG∥平面PED．
（Ⅱ）解：因為EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．
又因為四邊形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
如圖建立空間直角坐標系，

因為AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），
C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．
因為F，G，H分別為PB，EB，PC的中點，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）．
所以，，
設為平面FGH的一個法向量，則，即，
再令y₁=1，得．
，
設為平面PBC的一個法向量，則，即，
令z₂=1，得．
所以=．
所以平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小為．
（Ⅲ）在線段PC上存在點M，使直線FM與直線PC所成角為60°
證明：假設在線段PC上存在點M，使直線FM與直線PC所成角為60°．
依題意可設，其中0≤λ≤1．
由，則．
又因為，
所以．
又直線FM與直線PA成60°角，，
所以，即，解得：．
所以，．
所以，在線段PC上存在點M，使直線FM與直線PC所成角為60°，此時PM的長為．
點評：本題考查了線面平行的判定，考查了線線角和面面角，訓練了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此類問題的關鍵是正確建系，準確求用到的點的坐標，此題是中檔題．