Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)滿足：
（1）f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
（2）f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的“和諧區(qū)間”，
下列函數(shù)中存在“和諧區(qū)間”的是

 

．
①f（x）=x²（x≥0）
②f（x）=2 x2-1+2x-1（x≥0）
③f（x）=x+

1

x

（x＞0）
④f（x）=

4x

x2+1

（x≥0）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，確定出f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，即可判斷，
②轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）-2x=2 x2-1-1（x≥0）g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，得出不可能有2個(gè)零點(diǎn)，判斷出錯誤．
③則轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）-2x=

1

x

-x，在[0，+∞）單調(diào)遞減，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，f（x）=2x不可能有2個(gè)非負(fù)根，故③錯誤．
④根據(jù)f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，可判斷，正確．

解答： 解：①當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，
∴存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；
②∵f（x）=2 x2-1+2x-1（x≥0）單調(diào)遞增，
∴如果存在則

f(a)=2a f(b)=2b

即f（x）=2x有2個(gè)非負(fù)根，
令g（x）=f（x）-2x=2 x2-1-1（x≥0）
∵g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
∴不可能有2個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=2x不可能有2個(gè)非負(fù)根，故②錯誤．
③f（x）=x+

1

x

（x＞0）
如果存在則

f(a)=2a f(b)=2b

即f（x）=2x有2個(gè)非負(fù)根，
則g（x）=f（x）-2x=

1

x

-x，在[0，+∞）單調(diào)遞減，
∴不可能有2個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=2x不可能有2個(gè)非負(fù)根，故③錯誤．
④當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

4x

x2+1

=

4

x+ 1 x

≤2在[0，1]上是單調(diào)增函數(shù)，
且f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，
∴存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；
故答案為：①，④

點(diǎn)評：本題考查了新定義的題目，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，屬于中檔題．