Question

函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，3），對(duì)稱軸為x=2，且方程f（x）=0的兩實(shí)根平方和為10．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=

1+x 1-x

+lgf（x）的定義域?yàn)镸，求M；
（Ⅲ）求h（x）=m×2^x+2+3×4^x（m＞-3）在x∈M時(shí)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把點(diǎn)（0，3）代入函數(shù)解析式求得c=3；再根據(jù)對(duì)稱軸為x=2，可得-

b

2a

=2；設(shè)方程的2個(gè)根分別為m、n，則由韋達(dá)定理以及m²+n²=16-

6

a

=10，求得a和b的值，從而求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由函數(shù)g（x）的解析式可得

1+x 1-x ≥0 x2-4x+3＞0

，求得x的范圍，可得函數(shù)的定義域M．
（Ⅲ）由h（x）=3×(2x+

2m

3

)2-

4m2

3

，結(jié)合x∈[-1，1），令t=2^2x，則t∈[

1

2

，2），令h（x）=g（t）=3•(t+

2m

3

)2-

4m2

3

，函數(shù)g（t）的對(duì)稱軸為t=-

2m

3

，分類討論對(duì)稱軸與t的范圍的關(guān)系，求得g（t）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）把點(diǎn)（0，3）代入函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），可得c=3．
再根據(jù)對(duì)稱軸為x=2，可得-

b

2a

=2．
設(shè)方程的2個(gè)根分別為m、n，則由韋達(dá)定理可得 m+n=-

b

a

=4，mn=

3

a

，
再由m²+n²=（m+n）²-2mn=16-

6

a

=10，求得a=1，∴b=-4，
∴f（x）=x²-4x+3．
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=

1+x 1-x

+lgf（x），∴

1+x 1-x ≥0 x2-4x+3＞0

，即

x+1 x-1 ≤0 x＜1，或 x＞3

．
解得-1≤x＜1，故函數(shù)的定義域M=[-1，1）．
（Ⅲ）∵h(yuǎn)（x）=m×2^x+2+3×4^x =3×2^2x+4m×2^x=3×(2x+

2m

3

)2-

4m2

3

，
∵x∈[-1，1），∴2^x∈[

1

2

，2）．
令t=2^2x，則t∈[

1

2

，2），h（x）=g（t）=3•(t+

2m

3

)2-

4m2

3

，函數(shù)g（t）的對(duì)稱軸為t=-

2m

3

．
根據(jù) m＞-3，可得

2m

3

＞-2，-

2m

3

＜2；令-

2m

3

=

1

2

，求得m=-

3

4

．
當(dāng)-3＜m≤-

3

4

 時(shí)，則

1

2

≤-

2m

3

＜2，g（t）在[

1

2

，2）上，
只有當(dāng)t=-

2m

3

時(shí)，函數(shù)g（t）取得最小值為-

4m2

3

．
當(dāng)m＞-

3

4

時(shí)，-

2m

3

＜

1

2

，g（t）在[

1

2

，2）上是增函數(shù)，故當(dāng)t=

1

2

時(shí)，函數(shù)g（t）取得最小值為2m+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式和定義域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)額思想，屬于中檔題．