Question

已知數(shù)列{a_n}的前五項(xiàng)是一個(gè)以-2為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，從第五項(xiàng)起數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，若S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且

lim

n→∞

S_n=40，求
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知結(jié)合數(shù)列極限求得等比數(shù)列的公比，然后分段寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）分?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列和等比數(shù)列兩段分段寫出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式．

解答： 解：（1）由題意知，S4=4×(-2)+

4×3×3

2

=10，a₅=-2+（5-1）×3=10．
則S_n=S₄+a₅+a₆+…+a_n=10+

10(1-qn-4)

1-q

．
由

lim

n→∞

S_n=40，得

lim

n→∞

[10+

10(1-qn-4)

1-q

]=10+

lim

n→∞

10(1-qn-4)

1-q

=40，
∴

10

1-q

=30，解得q=

2

3

．
則當(dāng)n≤5時(shí)，a_n=-2+3（n-1）=3n-5；
當(dāng)n＞5時(shí)，an=10•(

2

3

)n-5．
故an=

3n-5，n≤5 10•( 2 3 )n-5，n＞5

；
（2）當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=-2n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

n2-

7

2

n；
當(dāng)n＞5時(shí)，Sn=20+

10× 2 3 [1-( 2 3 )n-5]

1- 2 3

=40-20•(

2

3

)n-5．
故Sn=

3 2 n2- 7 2 n，n≤5 40-20•( 2 3 )n-5，n＞5

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列極限，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．