Question

記f（x）=

1

2

x3-ax，a∈R．
（1）解關于x的不等式f（x）＞a-

1

2

；
（2）當|x|≤2時，|f（x）|≤1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得f(x)-a+

1

2

=

1

2

x3-ax-a+

1

2

=

1

2

(x+1)(x2-x+1-2a)，記g（x）=x²-x+1-2a，討論△，從而求出不等式的解；
（2）由于f（x）是奇函數(shù)，且f（0）=0，所以只需研究x＞0即可，然后利用參變量分離法，研究不等式另一側函數(shù)的最值可求出a的取值范圍；
另解：根據(jù)

|f(1)|≤1 |f(2)|≤1

，可求出a的值，然后驗證當|x|≤2時，|f（x）|≤1是否恒成立即可．

解答：解：（1）f(x)-a+

1

2

=

1

2

x3-ax-a+

1

2

=

1

2

(x+1)(x2-x+1-2a)，
記g（x）=x²-x+1-2a，△=1-4（1-2a）=8a-3，
①當△＜0，即a＜

3

8

時，不等式等價于x+1＞0，x＞-1；
②當△=0，即a=

3

8

時，不等式等價于(x+1)(x-

1

2

)2＞0，-1＜x＜

1

2

或x＞

1

2

；
③當

△＞0 g(-1)＞0

，即

3

8

＜a＜

3

2

時，不等式等價于（x+1）（x-x₁）（x-x₂）＞0，
其中x₁，x₂是g（x）的兩個零點，且-1＜x₁＜x₂，則不等式的解為-1＜x＜x₁或x＞x₂；
④當

△＞0 g(-1)=0

，即a=

3

2

時，不等式等價于（x+1）²（x-2）＞0，則x＞2；
⑤當

△＞0 g(-1)＜0

，即a＞

3

2

時，不等式等價于（x+1）（x-x₁）（x-x₂）＞0，
其中x₁，x₂是g（x）的兩個零點，且x₁＜-1＜x₂，則不等式的解為x₁＜x＜-1或x＞x₂．
（2）由于f（x）是奇函數(shù)，且f（0）=0，所以只需研究x＞0即可．
|f(x)|≤1?-1≤ax-

1

2

x3≤1?

1

2

x2-

1

x

≤a≤

1

2

x2+

1

x

，
∵h1(x)=

1

2

x2-

1

x

在（0，2]上遞增，
∴a≥h1(2)=

3

2

，
∵h2(x)=

1

2

x2+

1

x

在（0，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
∴a≤h2(1)=

3

2

，
所以a=

3

2

．
另解：

|f(1)|≤1 |f(2)|≤1

，得a=

3

2

．
當a=

3

2

時，f(x)+1=

1

2

x3-

3

2

x+1=

1

2

(x-1)2(x+2)≥0，對x∈（0，2]恒成立；
f(x)-1=

1

2

x3-

3

2

x-1=

1

2

(x+1)2(x-2)≤0對x∈（0，2]恒成立；
所以，當a=

3

2

時，不等式|f（x）|≤1在x∈（0，2]時恒成立．

點評：本題是一道綜合題，主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及恒成立問題，同時考查了分類討論的數(shù)學思想和運算求解的能力，屬于中檔題．