Question

一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，E為側(cè)棱PC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）畫(huà)出該四棱錐的直觀圖，并指出幾何體的主要特征（高、底等）．
（2）點(diǎn)E在何處時(shí)，PA∥平面EBD，并求出此時(shí)點(diǎn)A到平面EBD的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)視圖基本原理，可得該四棱錐底面為菱形，∠BAC為60度，A在底面內(nèi)的射影為底面中心，且四棱錐高為1．由此不難作出它的直觀圖；
（2）連接AC，且AC、BD交點(diǎn)為O．△ACP中利用中位線，得PA∥EO，結(jié)合線面平行的判定定理，可得PA∥平面EBD．再通過(guò)證明面BDE⊥面PAC，得點(diǎn)P到平面EBD的距離等于△POE的邊OE上的高，也是點(diǎn)A到平面EBD的距離．最后通過(guò)計(jì)算Rt△POC的邊長(zhǎng)，得到△POE為正三角形，從而得到OE邊上的高，即為點(diǎn)A到平面EBD的距離．

解答：解：（1）直觀圖如右圖所示：…（3分）
該四棱錐底面為菱形，邊長(zhǎng)為2，其中角A為60度，
頂點(diǎn)A在底面內(nèi)的射影為底面菱形的中心，四棱錐高為1．…（4分）
（2）當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，PA∥平面EBD．…（5分）
證明如下：
連接AC，且AC、BD交點(diǎn)為O．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴O為AC的中點(diǎn)，
又∵E為PC中點(diǎn)，
∴OE為△ACP的中位線，得PA∥EO，
∵PA?平面EBD，EO⊆平面EBD，∴PA∥平面EBD．…（8分）
當(dāng)E為棱PC中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，P在面ABCD內(nèi)的射影為O，
∴BD⊥面PAC，
結(jié)合BD⊆面BDE，得面BDE⊥面PAC．
又∵PA∥OE，∴點(diǎn)A到平面EBD的距離等于△POE中OE邊的高．
∵△POC中，PO=1，
∴tan∠OPE=

OC

OP

=

3

，PE=

1

2

PC=

1

2

PO2+OC2

=1．
即△POE為正三角形，OE邊的高等于

3

2

PE=

3

2

．
故點(diǎn)A到平面EBD的距離等于

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題將三視圖還原為直觀圖，并且探索了線面平行和點(diǎn)到平面的距離，著重考查了空間的線面平行和點(diǎn)到平面距離求法等知識(shí)，屬于中檔題．